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(38)ロトカ・ボルテラ方程式

graphs アプリケーションで解を直接描画する。x 軸が jerry の個体数、y 軸が tom の個体数。 今度は横軸を時間、縦軸を個体数にする。このほうが周期性がよくわかる。 設定は下のとおり。 参考:レクチャーズオンMathematica作者: 川平友規出版社/メーカー:…

(37)ロジスティック方程式

これは厳密解が求まる。1 行目は一般解、2 行目は n(0) = 1 のときの特殊解。 graphs アプリケーションでグラフ化する。 参考: 『レクチャーズオンMathematica』p.134-135『Excelで学ぶ微分方程式』p.187-189

(19)不安定核の崩壊

崩壊する不安定核の個数 n は下の微分方程式に従う。解析的に正しく解ける。 t は 時間、τ(タウ)は平均寿命。c1 は最初の個数。 ----------------------------------------------------------------------- 上の厳密解がわからないものとして Graphs アプ…

(18)練習問題

-----------------------------------------------------------------------------問:y = f(x) で表される函数があり、 y' = -2xyで表されるとき、函数 y = f(x) の具体的な形を求めよ。ただし、x = 0 のとき、 y = 10 となる。---------------------------…

(17)空気抵抗がある場合の重力による物体の落下(近似解)

前回と同じ微分方程式の近似解を Graphs アプリケーションで直接グラフ化してみる。 下のグラフは横軸が時間、縦軸は y1_1(赤) が高さ、y2_1(青) が速度である。 初速を 30 ~ -30〔m/s〕 の範囲でドラッグしたときのようすを動画にした。いずれにしても…

(16)空気抵抗がある場合の重力による物体の落下

速度に比例する空気抵抗の成分だけを考えて厳密解を求めてみる。 速度 y' に比例して働く空気抵抗の成分を - β*y' として、 y'' = -g - β*y'を解けばよい。 参考文献と同じく係数 β = 0.8 とする。 初期条件(100〔m〕の高さから鉛直上向きに 6〔m/s〕の速度…

(15)重力による物体の落下(Graphs アプリケーションで近似解を直接描く)

y'' = -g を下のように 1 階の連立に変える。 y1 を高さとする。 y1' = y2 を速さとする。 y1'' = y2' = -g を加速度とする。 初期条件は前回と同じく、最初の高さ y1(0) = 5、初速 y2(0) = 6 とする。 ステップを細かく刻んだので厳密解との違いはほとんど…

(14)重力による物体の落下(厳密解)

高さを y、時間を x、重力加速度を g とする。厳密解は以下のように解ける。鉛直上向きを正とするので g に負号をつけた。 各項の並びが教科書と異なるが、c1 は 時刻 x = 0 のときの物体の速度(初速)、c2 は 時刻 x = 0のときの物体の高さである。 高さ 5…

(13)misc.(arcLen())

積分がらみの函数としてはほかに、弧長(arc length)を求める arcLen() がある。 構文:arcLen(<式または式リスト>, <変数>, <始点>, <終点>) 弧の長さを返す。 実行例(単位円の半周の長さを求める): -------------------------------------------------…

(12)misc.(nInt())

定積分、不定積分を求める integral() のほかに、数値積分を求める nInt() 函数がある。 構文:nInt(<式>, <変数>, <始点>, <終点>) <始点> ~ <終点> の範囲で被積分函数の標本値をいくつか採ってその加重平均を返す。有効数字 6 桁を目標に計算する。その…

(11)2 変数の場合のマクローリン展開

z = cos(x) cos(y): z = 1 - (1/2) x^2 - (1/2) y^2 (2 次まで): 参考文献: Excelで学ぶ微分方程式 作者: 鈴木肇 出版社/メーカー: オーム社 発売日: 2006/12 メディア: 単行本 クリック: 1回 この商品を含むブログ (1件) を見る (セクション 2.3.3「E…

(10)misc.(euler()、rk23())

微分方程式の近似解は Graphs アプリケーションで直接グラフ化できるが、オイラー法、ルンゲ・クッタ法それぞれの組込函数も別に用意されている。 euler() rk23() ----------------------------------------------- 構文: euler(<微分方程式の右辺>, <独立…

(9)misc.(impDif())

構文:impDif(<式>, <独立変数>, <従属変数> [,階数]) 陰函数の導函数(implicit differentiation)を返す。 下の例は陽に解いて微分(2 行目)することもできるが、陰のまま(1 行目)のほうが形がすっきりする。

(8)misc.(avgRC()、centralDiff())

構文: avgRC(<式>, <変数> [= <値>] [, <差分>]) avgRC(<式>, <変数> [, <差分>]) [| <変数> = <値>] centralDiff(<式>, <変数> [= <値>] [, <差分>]) centralDiff(<式>, <変数> [, <差分>]) [| <変数> = <値> avgRC() は、前進差分法(forward-difference …

(7)misc.(nDerivative())

ほかに次のような組込函数がある。 nDerivative() avgRC() centralDiff() impDif() ---------------------------------------------- 構文: nDerivative(<式>, <変数> = 値 [,<階数 1 or 2>]) nDerivative(<式>, <変数> [,<階数 1 or 2>]) [|<変数> = 値] …

(6)12. 練習問題(3)

練習問題(3)----------------------------------------------微分方程式:y' = exp(x)/y初期条件: x = 0 のとき y = sqrt(2)---------------------------------------------- 厳密解: オイラー法の近似解(精度は落としてある): Excelでわかる数学の基…

(5)12. 練習問題(2)

練習問題(2) ---------------------------------------------- 微分方程式:y' = -x/y 初期条件: x = 0 のとき y = 1 ---------------------------------------------- 厳密解: 陰に解かれたので solve() で陽に解く。 函数群として描けるよう exp@>list…

(4)12. 練習問題(1)

練習問題(1) ----------------------------------------------------------- 微分方程式:y' = 2 y 初期条件:x = 0 のとき y = 1 オイラー法 ----------------------------------------------------------- CAS を使うまでもないが Nspire で厳密解を求め…

(3)12.2 ルンゲ-クッタ法

今度はルンゲ-クッタ法で近似解を求めてみる。精度はデフォルトのままである。厳密解との差は見えない。 参考: Excelでわかる数学の基礎 作者: 酒井恒 出版社/メーカー: 日本理工出版会 発売日: 2008/02 メディア: 単行本 この商品を含むブログを見る

(2)12.1 オイラー法

前回の微分方程式の近似解をオイラー法で求める。Graphs アプリケーションの[Differential Equation]を使う。 青い線が厳密解、赤い線がオイラー法で求めた近似解である。[Plot Step]を「0.1」と粗くしているので精度がかなり低い。 初期条件として設定…

(1)12. 常微分方程式の解(deSolve())

Nspire の組込函数 deSolve() を使って厳密解を求めてみる。 構文:deSolve(<1階または2階の常微分方程式>, <変数>, <未知函数>) (引数の順序が Mathematica と違う) 例:変数分離形 y' = 2xy 1 行目が一般解(c1 は任意定数、1 はただの連番)。 2 行目は…