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(15/36)微分方程式をグラフ化する

TI-Nspireガイドブック和訳「Graphsアプリケーション」

微分方程式をグラフ化する 

ロジスティック・モデルやロトカ=ヴォルテラ方程式(捕食者・被食者モデル)などをはじめ、線形、非線形微分方程式、および連立常微分方程式(ODE)を詳しく調べることができます。対話操作でオイラー法およびルンゲ・クッタ法を実行することにより、勾配場および方向場をプロットすることも可能です。

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① ODEのエントリー・ライン:

  • y1はODE識別子です。
  • 式k·y1により関係を定義します。 
  • (1,1)により初期条件を指定します。 
  • 初期条件の追加、およびプロット・パラメーターの設定をおこなうためのボタンがあります。

② ODEの係数kを変化させるためのスライダーです。

③ 勾配場です。 

④ 解曲線が初期条件のポイントを通過しています。

 

微分方程式をグラフ化するには 

  1. [Graph Entry/Edit]メニューから[Diff Eq]を選択します。 

ODEには自動的に“y1”のような識別子が割り当てられます。

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  1. 関係式フィールドへ移動し、その関係式を定義する数式を入力します。たとえば-y1+0.1*y1*y2と入力します。

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  1. 独立値x0と、y10と両方の初期条件を入力します。注: x0の値は、同じプロブレム内のすべてのODEで共通ですが、入力も変更も最初のODEでしかできません。
  1. (オプション)現在のODEを対象に複数の初期条件について調べるときは、[Add Initial Conditions](f:id:ti-nspire:20150106133544j:plain)をクリックして目的の初期条件を入力してください。

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  1. [Edit Parameters](f:id:ti-nspire:20150106133802j:plain)をタップしてプロット・パラメーターを設定します。[Solution Method]で数値解法を選択します。ほかのパラメーターも設定してください。これらのパラメーターはいつでも変更できます。

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  1. [OK]をクリックします。 
  1. さらにODEを入力するときは、下向き矢印を押して、次のODE編集フィールドを表示します。 

定義した複数のODEの間を移動すると、変化に応じてグラフが更新されます。表示された各ODEに指定されている初期条件ごとに、ODEの解の1つがグラフ化されます(どれを表示するかはチェック・ボックスで選択します)。      

 

[Differential Equation]ダイアログボックスの設定一覧 


[Solution Method]


数値解法として[Euler](オイラー法)、[Runge-Kutta](ルンゲ・クッタ法)のいずれかを選択します。


[Iterations Between Plot Step]


オイラー法の計算精度(繰り返し回数)です。1以上の整数でなければなりません。デフォルト値に戻すときは、[▼]を選択し[Default]を選択してください。


Error Tolerance]


ルンゲ・グッタ法の計算精度(許容誤差)です。1×10-14以上の浮動小数点数でなければなりません。デフォルト値に戻すときは、[▼]を選択し[Default]を選択してください。


[Field]


[None]:場はプロットされません。ODEの数がいくつであってもこの設定にはできますが、1階のODEが3つ以上アクティブになっている場合は、この設定を選択する必要があります。ユーザーの指定した[Axes]の設定に応じて、1つ以上のODEの解と値の両方またはいずれかの組み合わせがグラフ化されます。

[Slope]:1個の1階ODEの解の集まりを表した場がプロットされます。アクティブにするODEの数は必ず1つでなければなりません。[Axes]は[Default (x and y)]に設定されます。水平軸はx(独立変数)に設定されます。垂直軸はy(ODEの解)に設定されます。

[Axes]>[Custom]の順に選択して指定した設定に応じて、[Direction]:2つの1階ODEから成る連立方程式の解と値との関係、あるいは解同士の関係を表す場を位相面にグラフ化します。アクティブにするODEの数は必ず2つでなければなりません。


[Axes]


[Default (x and y)]:x軸にxがプロットされ、y軸にy(アクティブに成っている微分方程式の解)がプロットされます。

[Custom]:x軸、y軸にプロットする値がめいめいに選択できます。たとえば以下のようなエントリーが有効です。

• x(独立変数)

• ODEエディターで定義したy1やy2などの識別子

• ODEエディターで定義したy1’やy2’などの導函数


[Plot Start]


解のプロットの開始点となる独立変数値を設定します。


[Plot End]


解のプロットの終了点となる独立変数値を設定します。


[Plot Step]


独立変数をいくつずつ増やしながら値をプロットするのかを設定します。


[Field Resolution]


勾配場または方向場を描くのに使われる要素(線分)を何列の場で表すのかを設定します。このパラメーターは、[Field]を[Direction]か[Slope]かいずれかに設定した場合のみ変更できます。


[Direction Field at x=]


非自律系方程式(non-autonomous equation)(xを参照する方程式のこと)をプロットする場合、独立変数の値がいくつであるときに方向場が描かれるのかを設定します。自律系方程式をプロットする場合、この設定は無視されます。このパラメーターは、[Field]が[Direction]である場合のみ変更できます。

 

 

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